El infinito (página 2)

Como Z carece de primer y último elementos (es
decir, se prolonga desde el infinito hasta el infinito),
aparentemente debería tener una cantidad infinita de
elementos aproximadamente igual al doble de "card(N) =??". Sin
embargo, esto no es así. Se prueba, mediante rigurosa
biyección, que la cantidad de elementos de Z o "card(Z)" es
igual a "card(N)"; o sea: "card(Z) =??". Esto, evidentemente,
invalida el axioma 5º de Euclides (página 9), pues es
obvio que N es una parte propia (o subconjunto propio) de
Z.

NOTA:

Dado un conjunto A = {a, e, i, o , u}, tal que card(A)=
5, se dice que B es PARTE o SUBCONJUNTO de A si B está
formado por elementos tomados de A. Cuando B está formado
por todos los elementos de A, o sea, cuando B=A, a B se le llama
PARTE o SUBCONJUNTO IMPROPIO de A. Evidentemente, todo conjunto C
es parte impropia de sí mismo; por tanto, cualquier conjunto
C sólo puede tener una única parte impropia: él
mismo.

Cuando B está formado por algunos (pero no todos)
los elementos de A, como en el caso B = {a, i, o}, en donde
card(B)= 3, se dice que B es PARTE o SUBCONJUNTO PROPIO de A.
Para conjuntos finitos, es obvio que el cardinal de
un conjunto A (finito) coincide con el de su parte impropia, pero
siempre es mayor que el de toda parte propia del
mismo. Sin embargo, tal cosa no sucede cuando el conjunto es
infinito, es decir, cuando su cardinal es infinito. En efecto,
pues N es parte propia de Z y, sin embargo: card(N) =
card(Z).

El conjunto de los números racionales se forma a
partir de los números enteros y se denota por Q, y está
constituido por toda la infinidad de los números
fraccionarios que caben entre 2 números enteros
cualesquiera, hecho que se representa así:

Q = { z/n | zEZ y nEN }

y se lee: "Q es el conjunto formado
por todas las fracciones z/n tal que z pertenece a
Z y n pertenece a
N".

Aparentemente, según el sentido común, el
"card(Q)" debería ser igual al "card(Z)" multiplicado por el
"card(N)", pero esto no es así en absoluto. También
aquí se puede probar con rigor que el "card(Q)" es igual al
"card(Z)". Por consiguiente, tenemos que:

card(N) = card(Z) = card(Q) =
À0

Ello a pesar de que N es parte propia de Z y Z es parte
propia de Q. En consecuencia, N, Z y Q poseen la misma potencia,
a saber: la potencia del numerable (??).

NOTA:

El "sentido común" es lo que la gente
piensa a nivel general sobre un tema en particular. Es un acuerdo
natural de las personas sobre algo. Se entiende como una creencia
que la gente considera prudente sobre un tema o situación,
sin necesidad de que esa información esté comprobada
científicamente o que sea parte de un conocimiento
esotérico; lo único que importa en este caso es que la
mayoría de las personas lo crean o lo tengan en
"común".

Un factor importante relacionado con el
sentido común es la experiencia que cada
persona ha tenido en el transcurso de su vida. Muchas de esas
experiencias resultan en algo positivo para la mayoría de
las personas, por lo que, según el conocimiento que se
adquiriere en base a esas experiencias, se establecen creencias
que a nivel popular son de buen juicio. De hecho, muchas de las
cosas que se creen como correctas, vienen desde generaciones
pasadas, de tiempos anteriores en los cuales, por la experiencia
de otros, se establecieron como buenas o prudentes y han
perdurado hasta hoy.

El "sentido común" es uno de los
sentidos más valorados en las sociedades
humanas, tal vez porque es el menos común de los sentidos y
uno cuya aplicación generalmente produce buenos resultados.
El concepto se compone de 2 palabras: "sentido", que da la idea
de percepción o de capacidad para captar la realidad, y
"común", que incluye a un conjunto de personas que tienen la
misma visión o dan la misma orientación a las
situaciones.

Según esto, es evidente que los
transfinitos de Cantor violan el sentido común
de la gente, porque dicho sentido común se basa en el
conocimiento y experiencia tomados de la realidad
finita que percibimos como humanos. Sin embargo, la
matemática cantoriana nos informa de que el infinito posee
ciertas reglas cuya percepción es dificultada por nuestro
habitual sentido común.

Entre 2 números enteros cualesquiera, consecutivos
entre sí, existe una infinidad de números racionales.
Por ejemplo, los enteros consecutivos 2 y 3 son frontera de una
cantidad infinita de números racionales de la forma
"2+(1/n)" = "(2n+1)/n". Sin embargo, entre esa infinita cantidad
de racionales, comprendidos entre 2 y 3, se puede tomar 2 de
ellos tan próximos entre sí como se desee, tales como
"2 + ½" y "2+(1/3)" y todavía encontrar entre estos
últimos una infinidad de números racionales, y así
sucesivamente e ilimitadamente:

El sentido común, sin hacer más
averiguaciones, nos dictaría que es sensato pensar que los
números racionales, o el conjunto Q de ellos, llenarían
la recta numérica y la saturarían; es decir, todo punto
(ente adimensional) de la recta numérica quedaría
nombrado por un elemento de Q (esto es: por un número
racional), y ya no quedaría absolutamente ningún punto
sin nombrar. Al parecer, ésta fue la manera de ver la
geometría que tuvieron los sabios griegos de la
antigüedad durante un cierto periodo de tiempo.
Veamos.

Pitágoras de Samos (580-495 antes de la EC) fue un
filósofo y matemático griego considerado el primer
matemático puro. Contribuyó de manera significativa al
avance de la matemática helénica, la geometría y
la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones
numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos
y medidas, a la teoría de la música o a la
astronomía. Fundador de la Hermandad Pitagórica (cuna
del pitagorismo), una sociedad cerrada que, si bien era de
naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba
también en medicina, la cosmología, la filosofía,
la ética y la política, entre otras disciplinas,
además de las matemáticas. El pitagorismo formuló
principios que influyeron tanto en Platón como en
Aristóteles y, de manera más general, en el posterior
desarrollo de la matemática y en la filosofía
racionalista de Occidente.

El pitagorismo era, pues, un movimiento
esotérico, metafísico, filosófico, científico
y religioso fundado por Pitágoras de Samos y sus seguidores:
los pitagóricos. Éstos formaban la Escuela
Pitagórica, que era una secta griega de astrónomos,
músicos, matemáticos y filósofos que creían
que todas las cosas son, en esencia, números.

Los pitagóricos se dedicaron a las
matemáticas con gran afán, y fueron los primeros que
hicieron progresar esta disciplina de manera
notoria. Habiéndose formado en el concepto de número,
pensaron que los principios que regían las relaciones
numéricas eran los principios que regulaban todas las cosas.
Tenían el entusiasmo propio de los primeros estudiosos de
una ciencia en pleno progreso, y les cautivó la importancia
del número en el cosmos: todas las cosas son numerables, y
muchas las podemos expresar numéricamente. Así la
relación entre dos cosas de la misma especie se puede
expresar por una proporción numérica, o sea, mediante
el concurso de los números racionales; el orden existente en
una serie de objetos ordenados se puede expresar mediante
números ordinales, y así sucesivamente.

Pero parece que lo que más les
impresionó fue el descubrir que los intervalos musicales que
hay entre las notas de la lira pueden expresarse
numéricamente. Cabe decir que la altura de un sonido depende
del número, en cuanto que depende de las longitudes de las
cuerdas, y es posible representar los intervalos de la escala con
razones numéricas (números racionales). A partir de
esto surge la idea de cantidad, lo cuantitativo, como principio y
esencia de la realidad, es decir, que lo cualitativo se determina
en lo cuantitativo. Suponían que lo mismo que la
armonía musical depende del número, la armonía del
universo también depende del número.

El pensamiento pitagórico se levantó sobre una
estructura matemático–racional. El hecho de que
descubrieran que las relaciones armónicas entre las notas
musicales correspondían a cocientes de números enteros
(esto es, a números racionales) les inspiró a buscar
proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo
expresaron con la máxima: "Todo es número".

En la matemática pitagórica, dos
magnitudes son conmensurables si es posible
encontrar una tercera tal que las primeras dos sean
múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar
una unidad común para la que las dos magnitudes tengan una
medida entera. El principio pitagórico de que "todo
número es un cociente de enteros", expresaba en esta forma
que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables. Pero el
ambicioso proyecto pitagórico de solidificar la
matemática en torno al número racional se tambaleó
ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la
hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es
conmensurable respecto de los catetos.

Surgió entonces un dilema, ya que de
acuerdo al principio pitagórico de que "todo número era
racional", la hipotenusa de un triángulo rectángulo
isósceles violaba esa máxima, pues no era conmensurable
con los catetos. Esta afrenta contra la norma pitagórica
implicó que en adelante las magnitudes
geométricas y las cantidades numéricas tendrían
que tratarse por separado, hecho que tuvo
consecuencias funestas en el desarrollo de la
matemática durante los dos milenios
subsiguientes.

Desde el mismo ámbito matemático
en el que se desenvolvían los pitagóricos provino el
descubrimiento que pondría en crisis los fundamentos del
pitagorismo, pues se trataba del descubrimiento de lo irracional
(es decir, entidades pseudonuméricas que violaban la
racionalidad pitagórica), de magnitudes que no se
podían racionalizar o convertir en fracciones racionales
(números racionales). Éste era el caso de la raíz
cuadrada de dos.

Los pitagóricos supusieron que el número
racional podía medirlo todo, pero esta convicción no
era aplicable a la relación entre los lados de un cuadrado y
la diagonal del mismo. Los pitagóricos encontraron que en el
caso del lado y la diagonal del cuadrado no existe ningún
patrón que los mida exactamente a ambos. Fue un hallazgo que
tuvo una gran incidencia negativa en la escuela, ya que
cuestionaba los cimientos de su racionalismo numérico, en el
cual tenían afianzado su convencimiento de la inviolable
coherencia interior y la solidez incuestionable de su doctrina.
Esto causó grandes desequilibrios y estragos entre los
pitagóricos.

Hipaso de Metaponto fue un matemático,
teórico de la música y filósofo presocrático,
miembro de la Escuela pitagórica. Se cuenta
entre los más renombrados de los pitagóricos, de la
época más temprana. Se cree que fue quien probó la
existencia de los números irracionales, en un momento en el
que los pitagóricos pensaban que los números racionales
podían describir toda la geometría del mundo. Hipaso
habría roto la regla de silencio de los pitagóricos,
revelando al mundo la existencia de estos nuevos números.
Eso habría hecho que éstos lo expulsaran de la escuela
y erigieran una tumba con su nombre, mostrando así que para
ellos él estaba muerto. Los documentos de la época dan
versiones diferentes de su final. Parece ser que murió en un
naufragio, en circunstancias misteriosas. Algunos dicen que se
suicidó como autocastigo, dejando así libertad a su
alma para ir a buscar la purificación en otro cuerpo. Otros
afirman que un grupo de pitagóricos lo mataron.

Si sobre la recta numérica erigimos un
cuadrado de lado 1 y trazamos una diagonal "d" a dicho cuadrado,
obtenemos un segmento "d" que, al caer sobre la recta
numérica, determina un número que no es racional. Por
el famoso "teorema de Pitágoras" se prueba que "d" es igual
a la raíz cuadrada de 2 y, a partir de ahí, se
demuestra rigurosamente que la raíz cuadrada de 2 no se
corresponde con ningún número racional. Esto
contraviene las previsiones del sentido común, al demostrar
que los elementos de Q (los números racionales) no son
capaces de saturar la recta numérica. De momento, tenemos el
irracional " v2", el cual señala un punto de la recta
numérica no cubierto por ningún número racional.
Ahora bien, desarrollos modernos de la teoría de los
llamados "números reales" (cuyo conjunto, R, es la
unión del conjunto Q de los números racionales con el
conjunto I de los números irracionales) muestran que "
card(I) ?card(Q)"; además, "card(I) > card(Q)". Por lo
tanto, los números irracionales casi saturan la recta
numérica, en tanto que los números racionales salpican
muy débilmente dicha recta; dicho de otro modo: la inmensa
mayoría de los puntos de la recta numérica están
designados por números irracionales.

En la teoría de los números transfinitos, al
cardinal de I se le designa por " ??" (alef-sub-uno). Éste
es, pues, un infinito (un número transfinito) mayor (o de
orden superior) a " ??". Por otra parte, se tiene que "card(I) =
card (R) = ??"; en consecuencia: "?? + À1 = ??"; o sea:
"card(Q) + card (R) = card (R)". Al "card (R) = ??" se le llama
POTENCIA DEL CONTINUO.

En la teoría de conjuntos se toma en cuenta la
posibilidad de que un conjunto carezca de elementos,
representándose "{ }". A un tal conjunto se le denomina
CONJUNTO VACÍO, y también se le designa con el
símbolo "Ø ". Es evidente que "card(Ø) = 0". Y, si
bien existen infinitos conjuntos finitos cuyo cardinal es un
número natural "n" dado, en cambio sólo hay un
único conjunto cuyo cardinal es cero: Ø.

Dado un conjunto A, se llama CONJUNTO POTENCIA (o
CONJUNTO DE LAS PARTES DE UN CONJUNTO) A al conjunto P(A) formado
por todos los posibles subconjuntos que se pueden formar con los
elementos de A, incluido el propio A (su parte impropia) y el
Ø (pues Ø es subconjunto o parte propia de todo
conjunto no vacío, así como parte impropia de sí
mismo). Por ejemplo, siendo A = {a, e, o}, todos sus posibles
subconjuntos son: Ø, A1= {a}, A2= {e}, A3= {o}, A4= {a, e},
A5= {a, o}, A6= {e, o}, A. Por lo tanto, tenemos que: P(A) = {
Ø, A1, A2, A3, A4, A5, A6, A}. Además, "card(A) = 3" y
"card[P(A)] = 2card(A) = 23 = 8
".

En general, siendo A finito o infinito, se
tiene que "card[P(A)] = 2card(A)".
Para el caso de que A sea finito, es evidente que
"card(A) < card[P(A)]". Pero, ¿qué ocurre cuando A
es infinito?

Un resultado de gran importancia para la teoría de
los números transfinitos es el llamado TEOREMA DE CANTOR,
que dice: "Siendo A un conjunto finito o infinito, se cumple que
card(A) < card[P(A)]". Además, posteriores
investigaciones mostraron que, modificando conveniente y
legítimamente la teoría, resulta que, si bien "card(N)
= ??", es "card(R) = card[P(N)] = ??". En
consecuencia:

N1 = 2N0.

El teorema de Cantor, por tanto, permite
construir una jerarquía infinita de cardinales transfinitos,
cada uno de ellos estrictamente más grande que el
anterior:

N0, N1, N2, N3, …
,Nn, …

y tales que:

Nn=2Nn-1

puesto que, siendo A infinito,
es:

card(A) < card[P(A)] =
2card(A).

Algoritmos.

Un "algoritmo" es un conjunto finito de instrucciones o
pasos que sirven para ejecutar una tarea o resolver un problema.
De un modo más formal, un "algoritmo" es una secuencia
finita de operaciones realizables, no ambiguas (deben ser
claramente definidas), cuya ejecución da una solución a
un problema. El término "algoritmo" no está
exclusivamente relacionado con las matemáticas, las ciencias
de la computación o la informática. En realidad, en la
vida cotidiana empleamos algoritmos en multitud de ocasiones,
para resolver diversos problemas. Ejemplos de algoritmos son el
uso de una lavadora (se siguen las instrucciones al respecto), el
cocinar (se siguen los pasos de la receta), etc.
También existen ejemplos de índole
matemática, como el algoritmo de la división
para calcular el cociente de dos números
decimales, el algoritmo de Euclides para calcular el máximo
común divisor de dos números naturales, etc.

La palabra "algoritmo" proviene del nombre de un
matemático musulmán persa llamado Al-Juarismi (780-850
de la EC), cuyos escritos, traducidos al latín en el siglo
XII, tuvieron una gran influencia en Europa Occidental.
AlJuarismi fue el iniciador de la rama de las matemáticas
que hoy conocemos como Álgebra. Fue, además, el
principal difusor del sistema de numeración decimal
posicional que usamos comúnmente hoy día y que llamamos
"sistema indoarábico de numeración", pues en realidad
dicho sistema y parte de su grafismo se originó en la India,
siendo los árabes meros transmisores del mismo.

En el siglo XII todavía predominaba en Europa el
sistema romano de numeración que, como es sabido, carece del
cero y hace extremadamente difíciles operaciones tan simples
como multiplicar o dividir dos números naturales. En cambio
el sistema indoarábico proporciona procedimientos
sistemáticos para estas operaciones de un tecnicismo tan
simple que todos los niños pueden aprenderlos en la escuela
a muy corta edad. Como era de esperar, esta forma de calcular fue
desplazando rápidamente a los métodos realizados
mediante el ábaco, y recibió el nombre de "algoritmo"
(pronunciación aproximada de Al-juarismi). Con el tiempo
todo procedimiento sistemático y rutinario para resolver un
problema matemático recibió, por analogía, el
nombre de "algoritmo". Actualmente, el nombre se sigue aplicando
a tales procedimientos, muchas veces manuales o puramente
teóricos, pero sobre todo a los que son realizados por una
computadora.

Un "algoritmo" es, pues, un conjunto de
reglas que, aplicadas sistemáticamente a unos datos de
entrada adecuados (expresados en el enunciado del problema a
tratar), resuelven un cierto problema en un número finito de
pasos elementales. El conjunto de reglas ha de ser finito, de
otro modo su definición o descripción algorítmica
no terminaría. Además, el número de pasos
elementales (que puede invocar la aplicación de todas o
parte de las reglas, y hacerlo repitiendo o no algunas de tales
reglas) ejecutados por el algoritmo ha de ser igualmente finito,
pues de otra manera nunca se alcanzaría una solución
(dicha solución requeriría una eternidad de tiempo para
ser elaborada).

NOTA:

Por lo que se sabe, el trabajo de
Al-Juarismi consistió en preservar y difundir el
conocimiento de la antigua Grecia y de la India. Sus
libros eran de fácil comprensión, de aquí que su
principal valor no fuera el de crear nuevos teoremas o nuevas
corrientes de pensamiento, sino el simplificar las
matemáticas a un nivel lo suficientemente bajo para que
pudiera ser comprendido por un amplio sector del público.
Cabe destacar cómo él señaló las virtudes del
sistema de numeración decimal indio, en contra de los
sistemas tradicionales árabes, y cómo explicó
mediante una especificación clara y concisa la manera de
calcular sistemáticamente y que se podrían definir
algoritmos que fueran usados en dispositivos mecánicos en
vez de usar las manos (por ejemplo, ábacos). También
estudió la manera de reducir las operaciones que formaban el
cálculo. Es por esto que aún no siendo el creador del
primer algoritmo, el concepto lleva un parecido a su nombre, a
saber, el pseudónimo "algoritmo".

En principio se usó la palabra
"algorismo", que originalmente hacía referencia a las reglas
de uso de la aritmética utilizando dígitos
indoarábigos. Posteriormente, "algorismo" evolucionó
hacia la palabra latina "algobarismus". Finalmente, en el siglo
XVIII, el término se posicionó definitivamente en la
forma actual: "algoritmo". La palabra ha cambiado de forma a
través de los siglos, pero la esencia de su definición
incluye a todos los procedimientos finitos que sirven para
resolver problemas.

El análisis y estudio de los algoritmos es una
disciplina de las ciencias de la computación, y en la
mayoría de los casos su estudio es completamente abstracto y
no usa ningún tipo de lenguaje de programación ni
cualquier otra implementación. Por eso, en este sentido,
comparte las características de las disciplinas
matemáticas. Así, el análisis de los algoritmos se
centra en los principios básicos del algoritmo, no en los de
su implementación particular. Una forma de plasmar (o
algunas veces codificar) un algoritmo es escribirlo en
pseudocódigo o utilizar un lenguaje muy simple cuyos
códigos pueden estar en el mismo idioma del
programador.

Algunos escritores restringen la
definición de algoritmo a procedimientos que deben acabar en
algún momento, mientras que otros dan cabida además a
procedimientos que podrían ejecutarse eternamente sin parar
(algoritmos eternos o infinitos), y para ello especulan con la
existencia teórica de algún dispositivo físico que
fuera capaz de funcionar eternamente. En este último caso,
la finalización con éxito del algoritmo no se
podría definir como la terminación de éste con una
salida o solución satisfactoria al problema, sino que el
éxito vendría definido en función de las
secuencias de salidas evaluadas como satisfactorias y alcanzadas
durante un cierto periodo de tiempo (o vida finita) extraído
de la ejecución eterna del algoritmo.

Por ejemplo, la tarea "calcular el número p
(léase: pi) en forma decimal" no es un algoritmo para los
partidarios de la algoritmia tradicional (que excluye los
algoritmos infinitos), pues la secuencia decimal de p
contempla infinitas cifras y cada cifra supone un paso elemental
del cálculo. En cambio, para los apoyadores de la algoritmia
infinita, p ofrece la posibilidad de un cálculo
algorítmico teóricamente factible, aunque infinito,
cuyas secuencias de salida son satisfactorias y presentan una
aproximación al valor real de p plenamente aceptable.
El valor numérico de p, truncado a sus primeras
cifras, es el siguiente: 3'14159265358979323846…

Algoritmos
infinitos.

Según hemos visto en la nota anterior, algunos
expertos admiten como algoritmos ciertos procedimientos que
podrían ejecutarse eternamente, como, por ejemplo, la tarea
"calcular el número p en forma decimal". Figuras
relevantes en el análisis matemático, tales como
Leibnitz, Wallis y Euler han provisto algoritmos o fórmulas
matemáticas capaces de aproximar el valor decimal de
p tanto como se quiera y/o se pueda (dependiendo de los
medios y del tiempo disponible para utilizar dichos medios).
Gottfried Wilhelm von Leibnitz (1646-1716) proporcionó la
denominada "serie de Leibnitz":

NOTA:

El número p es la relación
o cociente entre la longitud L de una circunferencia y su
diámetro D, en el seno de la geometría
euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes
matemáticas más importantes. Se emplea
frecuentemente en análisis matemático, física e
ingeniería.

Los primeros millones de dígitos (cifras) decimales
de p se han podido calcular gracias a los modernos
ordenadores. Uno de los récords mas recientes fue alcanzado
en diciembre de 2002 por Yasumasa Kanada de la Universidad de
Tokio, fijando el numero p con 1 241 100 000 000
dígitos; se necesitaron unas 602 horas, con un
superordenador de 64 nodos Hitachi SR8000 y con una memoria de un
"terabyte" capaz de llevar a cabo 2 billones de operaciones por
segundo. Estas aproximaciones proporcionaron una cantidad tan
ingente de dígitos que puede decirse que ya no es útil
la tarea, salvo para comprobar el funcionamiento de los
superordenadores. La limitación no está en la
computación, sino en la memoria necesaria para almacenar una
cadena con una cantidad tan grande de números.

Números
primos.

En matemáticas, un "número primo" es un
número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos
divisores distintos: él mismo y el 1. Los números
primos se contraponen así a los " números compuestos",
que son aquellos números naturales que tienen algún
divisor natural aparte de sí mismos y del 1. El número
1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto. Los
números primos menores que 100 son los siguientes: 2, 3, 5,
7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89 y 97.

El estudio de los números primos es una parte
importante de la "teoría de números", rama de las
matemáticas que comprende el estudio de los números
enteros. Los números primos están presentes en algunas
especulaciones centenarias, tales como la "hipótesis de
Riemann" y la "conjetura de Goldbach". La distribución de
los números primos en la recta numérica es un tema
recurrente de investigación en la teoría de
números: si se consideran números individuales, los
primos parecen estar distribuidos aleatoriamente, pero la
distribución "global" de los números primos sigue leyes
bien definidas.

El conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, … } queda "partido", pues, en 2 subconjuntos
disjuntos (que carecen de elementos comunes entre sí), a
saber:

El conjunto de los números primos, con
el 1 incluido: P = {1, 2, 3, 5, 7, … }.

El conjunto de los números compuestos:
C = {4, 6, 8, 9, … }.

La primera prueba indiscutible del conocimiento de los
números primos se remonta a alrededor del año 300 antes
de la EC, y se encuentra en los "Elementos" de Euclides (tomos
VII a IX). Euclides definió los números primos,
demostró que hay infinitos de ellos y definió el
máximo común divisor y el mínimo común
múltiplo de un número natural en base a los
números primos.

Por lo dicho anteriormente, el conjunto P
de los números primos posee la potencia del
numerable, por lo que teóricamente debería
poder encontrarse una biyección (correspondencia uno a uno
entre los elementos de 2 conjuntos) entre P y N, o al revés:
entre N y P. Esto significa que todo número natural
"n" debería poder ser transformado mediante una
fórmula matemática o algoritmo "a(n)" en un número
primo de manera biyectiva, siendo "a(n)" el término general
de la sucesión de los números primos, todos obtenibles
mediante la hipotética biyección citada. Sin embargo,
hasta el presente, esto ha resultado imposible.

El estudio de los números primos es uno de los
campos que más ha apasionado a los grandes matemáticos
de la Historia. De carácter aparentemente impredecible, lo
cierto es que los primos obedecen muchas leyes y aparecen en
muchos teoremas matemáticos. Sin embargo, sólo con los
ordenadores más potentes del mundo se puede seguir
comprobando, para números naturales muy grandes, qué
números son primos y cuáles son compuestos. De momento,
no se conoce ninguna fórmula matemática práctica
que nos permita predecir si un determinado número natural es
primo. Para cada posible "candidato" se tiene que comprobar su
"primalidad" mediante diversos algoritmos de "fuerza bruta" en
potentes ordenadores. El primo más grande conocido hasta
ahora es "243112609-1", descubierto el 8-8-2009; tiene casi 13
millones de cifras o dígitos.

El modelado geométrico de la distribución de
los números primos es un tema de investigación
recurrente entre los teóricos de los números. La
"primalidad" de un número natural es (hasta ahora)
impredecible a pesar de que existen leyes, como el "teorema de
los números primos" y el "postulado de Bertrand", que
gobiernan su distribución a gran escala. Leonhard Euler
(1707-1783) comentó: "Hasta el día de hoy, los
matemáticos han intentado en vano encontrar algún orden
en la sucesión de los números primos, y tenemos motivos
para creer que es un misterio en el que la mente jamás
penetrará".

Don Bernard Zagier (nacido el 29 de junio
de 1951) es un reputado matemático americano,
cuya principal área de trabajo se centra en la teoría
de los números. Actualmente es uno de los directores del
Instituto Max Planck de matemáticas en Bonn, Alemania, y
profesor en el Collège de France, de París. En una
conferencia de 1975, comentó: "Hay dos hechos sobre la
distribución de los números primos de los
que espero poder convencerles de forma tan incontestable
que éstos quedarán permanentemente grabados en sus
corazones. El primero es que, a pesar de su definición
simple y del papel que desempeñan como ladrillos con los que
se construyen los números naturales, los números primos
crecen como malas hierbas entre los números naturales, y no
parecen obedecer ninguna otra ley que la del azar, y nadie puede
predecir dónde brotará el siguiente. El segundo hecho
es aún más asombroso, ya que dice justo lo contrario:
que los números primos muestran una regularidad pasmosa, que
hay leyes que gobiernan su comportamiento, y que obedecen estas
leyes con precisión casi militar".

Al presente, matemáticamente hablando,
los números primos poseen en general un carácter
aleatorio. Aparecen aquí y allá sin que se pueda
predecir dónde. No hay una fórmula conocida que nos
devuelva siempre números primos, y, de hecho, se debe
verificar computacionalmente si los posibles "candidatos" a
número primo realmente lo son. Sin embargo, hay ciertos
números primos que siguen determinadas fórmulas
matemáticas, pero eso no quiere decir que todos los
números que siguen dichas fórmulas sean necesariamente
primos. En algunas ocasiones, esto implica curiosas propiedades
matemáticas, de manera que en el mejor de los casos nos
encontramos con estos datos acumulados sobre la "personalidad" de
los números primos, pero no hay nada definitivo en cuanto a
ellos como "colectividad" global.

Dado que siempre ha sido patente que tratar
de encontrar una ecuación o fórmula matemática
que sólo sea cumplida por los números
primos (una expresión matemática característica de
todos los números primos y sólo de ellos)
es una utopía, frecuentemente los matemáticos han
buscado la manera de rodear el problema y hallar
formas de aproximarse a la solución. Por ejemplo,
Adrien-Marie Legendre, en 1798, intuyó que, si
bien era imposible calcular qué números son primos en
cualquier intervalo de números naturales, no obstante se
podría hallar un algoritmo matemático capaz de dar una
estimación aproximada sobre cuántos números primos
hay por debajo de cierto número natural "n", por grande que
sea este "n". Entonces él lanzó una conjetura (o
proposición matemática no demostrada) que fue probada
cierta un siglo más tarde por los matemáticos Jacques
Hadamard y Vallée Poussin, independientemente.
Dicha conjetura, ya demostrada, ha pasado a llamarse TEOREMA DE
LOS NÚMEROS PRIMOS. De dicho teorema se desprende la
consecuencia de que «para un número
natural arbitrario "n", tan grande como se quiera, la
probabilidad de que dicho número sea primo es
aproximadamente igual a 1/L(n)», siendo "L(n)" el logaritmo
neperiano de "n"; es decir, cuanto más grande sea el
número "n", menos probable es que "n" sea primo. Esto
significa que, a medida que la sucesión (ordenada de menor a
mayor) de los números primos crece también crece la
distancia o separación media entre 2 números primos
consecutivos en la recta numérica.

Un importante paso en la distribución
geométrica de los números primos lo dio
Stanislaw Marcin Ulam (1909-1984), nacido en Lvov (Lemberg),
Polonia. Su familia formó parte de la minoría
judía de Lvov. Él estudió en la escuela de
Matemáticas de Lvov, donde su mentor fue el matemático
polaco Stefan Banach. Cursó estudios de postgrado en el
Instituto politécnico de Lvov, donde se doctoró en
1933. Gracias a su amigo John von Neumann logró llegar a
Estados Unidos y ser aceptado en la Universidad de Harvard,
en 1938. Regresó a Polonia en 1939 y logró
escapar de los nazis junto con su hermano Adam, hacia
Estados Unidos, y con ayuda de Neumann pudo
encontrar un trabajo en el Instituto de Estudios Avanzados de
Princenton. Mientras tanto, toda su familia murió asesinada
en el Holocausto perpetrado por los alemanes durante la II Guerra
Mundial.

En 1963, Ulam, aburrido durante una
conferencia científica, estaba haciendo
garabatos en una hoja de papel. Dispuso una malla de números
naturales en espiral, empezando por el 1 en el centro, el 2 a su
derecha, el 3 arriba, el 4 encima del 1, el 5 a la
izquierda, y así sucesivamente. Posteriormente, marcó
los números primos y descubrió que los números
marcados tendían a distribuirse a lo largo de líneas
diagonales.

Todos los números primos, excepto el
2, son impares. Como en la "espiral de Ulam" algunas diagonales
contienen números impares y otras contienen números
pares, no sorprende ver cómo los números primos caen
todos (salvo el 2) en diagonales alternas. Sin
embargo, entre las diagonales que contienen
números impares, unas contienen una proporción
visiblemente mayor que otras de números primos. Las pruebas
que se han hecho hasta ahora confirman que, incluso si se
extiende mucho la espiral, se siguen mostrando esas diagonales.
El patrón se muestra igualmente aunque el número
central no sea 1 (en efecto, puede ser mucho mayor que 1). Este
hallazgo fue tan célebre que la " espiral de Ulam"
apareció en la cubierta de la revista Scientific American en
marzo de 1964.

Existen otras variantes de la espiral de
Ulam, tal como la "espiral de Sacks", que
también muestra patrones geométricos sin
explicación aparente. La espiral de Sacks fue descrita en
1994 por Robert Sacks. Se diferencia de la espiral de Ulam por 3
características fundamentales, a saber:

1. Los puntos (elementos equivalentes a los píxeles
o puntitos de la pantalla de un ordenador: blancos para los
números naturales compuestos y negros para los naturales
primos) se ubican sobre una espiral de Arquímedes, en vez de
sobre una espiral cuadrada como la que utilizó Ulam (ver
figura abajo).

2. El número 0 (cero) se admite como natural y se
ubica en el centro de la espiral arquimediana, en vez del 1 de la
espiral de Ulam.

3. En la espiral de Sacks se realiza un
giro completo para cada cuadrado perfecto
(número natural elevado al cuadrado: n2), mientras que en la
espiral de Ulam se ubican dos cuadrados perfectos
por giro o rotación.

En la espiral de Sacks (ver figura de la página
siguiente) se observa que algunas curvas que comienzan en el
origen parecen tener una gran densidad de números primos, y
una de estas curvas, por ejemplo, contiene números del tipo
"n2 + n + 41", que curiosamente viene a ser un famoso
polinomio abundante en números primos descubierto por
Leonhard Euler en 1774. Sin embargo, se desconoce actualmente
hasta qué punto las curvas de la espiral de Sacks permiten
predecir grandes números primos o compuestos.

Estos curiosos descubrimientos son
relativamente recientes. La espiral de Sacks data de 1994 y
la de Ulam de 1963. Quién sabe qué otras
sorpresas no descubiertas aún nos pueden deparar los
números primos. Pero, de todas formas, una cosa sí va
quedando clara: cuando se consideran grandes cantidades de
números primos, comienza a aparecer cierto orden o
regularidad en la distribución de los mismos. En otras
palabras: cuando se tiende a considerar una cantidad cuasi
infinita (o tendente a un cardinal infinito) de números
primos, tiende también a emerger un orden en medio del
aparente caos.

Conclusión.

Si bien los números primos son
construcciones puramente matemáticas (con algunas
aplicaciones a la tecnología de las
computadoras), su distribución geométrica en la recta
numérica o en el plano numérico, cuando se hace tender
hacia el infinito la cantidad representada de números, nos
enseña una lección importante, a saber: un conjunto de
entes que solían percibirse como caóticos, en su
manifestación, pueden, por otra parte, presentar una notable
regularidad cuando el enfoque científico de los mismos se
realiza de una manera especial, o cuando eventualmente se
descubre una nueva forma de interpretar la presencia de tales
entes. También, el concepto mismo de "infinitud", al ser
matematizado y precisado en su definición, con George Cantor
como pionero en esta labor, ha dejado de parecer caótico y
nebuloso y ha adquirido un nuevo talante, más comprensible y
más racional.

Estos ejemplos deberían servirnos de
advertencia en cuanto a calificar dogmáticamente al universo
de "amasijo caótico" de entes y fenómenos y afirmar que
la única ordenación de éste es aparente y
sólo se produce en nuestra imaginación. Desde el punto
de vista eriseísta, nos inclinamos a pensar que existe un
diseño fundamental en el universo y, por ende, éste no
puede ser anárquico y caótico en su esencia. No
obstante, la realidad subyacente y su lógica de base es
prácticamente desconocida para nosotros, siendo tarea de la
ciencia el descubrir progresivamente indicios fidedignos del
orden creativo que se esconde detrás de la apariencia de las
cosas. No pocas veces nos equivocamos y atribuimos caos a lo que
simplemente no somos capaces de comprender; o atribuimos un orden
erróneo a un género de orden que no hemos descubierto
todavía, y esto nos produce desagradables
paradojas.

El libro "¿Existe un Creador que se
interese por nosotros?", publicado en español y otros
idiomas en 1998 por la Sociedad Watchtower Bible And
Tract, páginas 24 y 25, expone:

« Probablemente sepa por experiencia
propia que todas las cosas tienden al desorden. Como todo
propietario de una vivienda ha observado, las cosas tienden
a deteriorarse o descomponerse cuando se abandonan. Los
científicos se refieren a esta tendencia como "la segunda
ley de la termodinámica". Podemos ver los efectos de esta
ley todos los días. Si se abandona un automóvil o una
bicicleta nuevos, inevitablemente se estropean. Desatienda un
edificio y acabará en ruinas. ¿Qué puede decirse
del universo? También le es aplicable esta ley. El orden del
universo debería dar paso con el tiempo al desorden
completo.

Sin embargo, no parece que el universo
tienda al desorden, como el físico y matemático Roger
Penrose descubrió cuando estudió el estado de desorden
(o entropía ) del universo observable. Una manera
lógica de interpretar estos hallazgos es concluir que
el universo empezó en un estado ordenado y
todavía lo conserva. El astrofísico Alan
Lightman dijo que a los científicos "les parece misterioso
el hecho de que el universo fuera creado con este elevado grado
de orden". También dijo que "cualquier teoría
cosmológica viable debería explicar en última
instancia esta contradicción de la entropía", es decir,
que el universo no se halle en estado
caótico ».

La revista Newsweek (9 de noviembre de 1998)
reseñó las implicaciones de algunos descubrimientos
relativos a la creación del universo. Según
señaló, los hechos “indicaban que la materia y el
movimiento surgieron de forma muy parecida a como se presentaba
en [el libro bíblico del] Génesis, ex nihilo (de la
nada), en un extraordinario estallido de luz y
energía”. Examinemos las razones que adujo Newsweek
para comparar el comienzo del universo con la descripción
bíblica de ese acontecimiento. “Las fuerzas desatadas
estuvieron —y están— maravillosamente
(¿milagrosamente?) equilibradas: Si la Gran Explosión
hubiese sido un poco menos violenta, la expansión del
universo habría sido menos veloz, de modo que
rápidamente (en pocos millones de años, o hasta en
pocos minutos) se habría colapsado y habría entrado en
recesión; pero si hubiera sido un poco más potente, tal
vez se hubiese dispersado hasta
formar un caldo tan ralo que no habría podido condensarse
para formar las estrellas. Las probabilidades que teníamos
en contra eran, haciendo plena justicia al término,
astronómicas. En el momento de la Gran Explosión, la
relación existente entre la materia y la energía con
respecto al volumen del espacio debe de haberse desviado
menos de una milbillonésima del 1% del ideal".

Newsweek indicó que existía, por
así decirlo, un "Regulador" del cosmos: "Quitemos tan
sólo un grado (véase la milbillonésima del 1%
mencionada antes como margen de error) […] y lo que sigue no es
sólo desbarajuste, sino entropía y hielo por toda la
eternidad. Así pues, ¿qué —o
quién— fue el gran Regulador?".

La revista DESPERTAD del 8-10-2000, páginas 3 y 4,
dice, en parte: «La mayoría de las galaxias se
concentran en cúmulos que comprenden desde unas cuantas
galaxias a miles de éstas. Por ejemplo, han calificado a la
vecina Andrómeda de gemela de nuestra Vía Láctea.
La gravedad vincula a estas dos inmensas galaxias, que junto con
otras pocas galaxias cercanas forman parte de un
cúmulo.

El cosmos está compuesto de un
sinnúmero de cúmulos galácticos. Algunos de ellos,
en mutuo abrazo gravitatorio, forman supercúmulos. Pero, a
partir de esa escala, el efecto de la gravedad se anula. Los
astrónomos opinan que los supercúmulos se van
distanciando unos de otros, es decir, el universo está en
expansión. Este asombroso descubrimiento denota que hubo un
principio en el que el cosmos era mucho más pequeño y
denso. Para referirse a su origen, a menudo se utiliza la frase
"la gran explosión".

Algunos científicos dudan mucho que el hombre logre
saber algún día cómo nació el universo. Otros
especulan sobre las maneras en las que pudo haberse originado sin
una fuente inteligente. La revista "Investigación y
Ciencia", en su número de marzo de 1999, analizó el
tema "Así empezó el universo". Ya hay teorías
científicas que se han demostrado carentes de base. La
publicación comenta: "Resulta muy difícil […] que los
astrónomos sometan a prueba cualquiera de estas
hipótesis".

La idea de que el universo es obra del azar
requiere fe en lo que los científicos llaman una serie
de "accidentes afortunados" o "coincidencias". Por
ejemplo, el universo consta de un sinfín de átomos de
hidrógeno y de helio, los más simples. La vida, sin
embargo, no sólo depende del hidrógeno sino
también de una infinidad de otros elementos más
complejos, especialmente el carbono y el oxígeno. La
comunidad científica se preguntaba de dónde
provenían esas valiosas partículas.

¿Es simple coincidencia que los
complejos átomos necesarios para el sostén de la vida
se formen en el interior de ciertos estrellas
gigantescos? ¿y es sólo por azar que algunos de estas
estrellas explo­ tan en supernovo y arrojan su tesoro de
átomos raros? Sir Fred Hoy le, quien participó en estos
descubri­ mientos, dijo: 'No creo que científico alguno
que examine las pruebas pueda llegar a otra conclusión
que ésta: los leyes de la física nuclear
se han formulado a propósito"».

Autor:

Jesús Castro